Cố pháp sư cao giai thuộc Pháp Tắc Hệ, Andel. Loire, từng định nghĩa đường Parabol là tập hợp những điểm trên mặt phẳng mà khoảng cách từ mỗi điểm đến một điểm cố định bằng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến một đường thẳng cố định không đi qua điểm cố định kia. Điểm cố định ấy chính là tiêu điểm của Parabol, còn đường thẳng cố định kia là đường chuẩn của Parabol.

"Phương trình đường chuẩn của Parabol này là y = -p/2, tiêu điểm là (0, p/2). Khi chuyển sang tọa độ cực, ta có thể suy ra x = r*sinθ, y = r*cosθ + p/2."

Rainer thông suốt ghi chép lên bảng đen. Trước đây, hắn đã tự mình suy luận qua một lần, bởi vậy giờ đây chỉ là thuật lại mà thôi.

"Như vậy, khoảng cách từ điểm A trên Parabol đến đường chuẩn sẽ là r*cosθ + p, còn khoảng cách đến tiêu điểm là r. Theo định nghĩa, hai giá trị này phải bằng nhau, tức là r = r*cosθ + p. Rút gọn một chút, dùng θ làm biến độc lập, chúng ta sẽ có biểu thức r = p/(1 - cosθ)."

Các bước tính toán không ngừng được ghi lên bảng đen, tựa như từng câu thần chú huyền bí, dẫn lối đến một thế giới kỳ diệu.

"Đem biểu thức này đưa vào phương trình hàm số ban đầu, rất dễ dàng có thể nhận thấy hai đi��u này tương đương, chẳng qua là cùng một đường Parabol được biểu đạt khác nhau trong những hệ tọa độ khác nhau mà thôi."

Và rõ ràng là phương trình hàm số trong tọa độ cực vô cùng ngắn gọn, ngay cả Dana cũng có thể nhanh chóng tính ra giá trị bên trong.

Khi Rainer tra cứu các tài liệu toán học của thế giới này, hắn bất ngờ phát hiện, sự phát triển toán học nơi đây lạc hậu hơn rất nhiều so với các lĩnh vực khác. Mặc dù các loại phương trình đường cong, hàm số lượng giác đã phát triển rất nhanh, và đa số khái niệm toán học đã được xác định, nhưng những tri thức liên quan đến vi phân, tích phân và số luận lại hiếm khi được thảo luận, còn lĩnh vực số ảo thì hoàn toàn chưa tồn tại.

Truyền kỳ pháp sư Isaris. Aberton của Pháp Tắc Hệ là người sáng lập ra vi phân và tích phân, nhưng ban đầu ông chỉ dùng nó để diễn tả ba định luật vận động của mình, hoàn toàn không hề nghĩ đến việc phát huy rạng rỡ nó.

Vi phân và tích phân trở nên phổ biến là vài năm sau đó, khi học viện nơi cố pháp sư Aberton tọa lạc đối mặt nguy cơ tài chính. Bấy giờ, ông mới nghĩ đến việc biến vi phân và tích phân thành môn học bắt buộc cho các học sinh Pháp Tắc Hệ. Năm đó, thu nhập từ phí trùng tu của học viện tăng hơn 500%, thuận lợi vượt qua khủng hoảng. Từ đó, vi phân và tích phân cũng bắt đầu trở thành tài liệu tham khảo khi các pháp sư cao giai cấu trúc mô hình pháp thuật.

Truy xét nguyên nhân, Rainer cho rằng có hai điểm.

Điểm thứ nhất, dù sao đây cũng là một thế giới ma pháp. Các pháp sư cổ đại, dẫu không có bất kỳ nền tảng lý luận toán học nào, vẫn như thường phát triển nên một nền văn minh huy hoàng rực rỡ. Đối với đại đa số pháp sư, kinh nghiệm trực giác thuận tiện hơn nhiều so với tính toán. Pháp sư càng cao giai, điểm này càng thể hiện rõ rệt.

Để minh họa bằng một ví dụ đơn giản, khi đo dung tích một chiếc thùng không đều đặn, người ta có thể chọn cách chia nhỏ, liên tục tích lũy từng điểm để có được đáp án cuối cùng, hoặc cũng có thể chọn cách trực tiếp dùng ma lực lấp đầy để có kết quả. Hiển nhiên, cách thứ hai đơn giản và bạo lực hơn nhiều.

Các pháp sư cao giai tựa như những cỗ máy có năng lực tính toán cực mạnh, cho dù chỉ dùng phương pháp liệt kê đơn thuần cũng có thể hoàn thành tuyệt đại đa số tính toán mô hình pháp thuật.

Toán học ở thế giới này rốt cuộc vẫn chỉ là một con đường tắt, mà kẻ mạnh không cần đường tắt. Kẻ yếu thì tri thức lại không đủ để tìm ra con đường tắt mới, bởi vậy ngành học này vẫn luôn không có ai thúc đẩy phát triển.

Hiện nay, những thành quả tiến bộ của toán học phần lớn vẫn dựa vào việc gặp phải các vấn đề khó giải quyết trong thực tế, mọi người mới quay đầu tìm kiếm sự trợ giúp của toán học.

Điểm thứ hai, cũng là điểm quan trọng nhất, chính là sự phát triển của toán học không cách nào nhận được phản hồi từ thế giới.

Ngay cả khi Rainer đưa ra hệ thống tọa độ cực, nhưng phản hồi từ thế giới hầu như không tồn tại. 1.800 năm trước, Thales. Anakf đưa ra định lý hình tam giác Anakf – một phát hiện trọng đại nhưng lại hoàn toàn không nhận được phản hồi từ thế giới, khiến ông từng cho rằng mình đã tính sai.

Cố pháp sư Aberton sáng lập vi phân và tích phân cũng không mang lại bất kỳ trợ giúp nào cho việc cấu trúc mô hình pháp thuật của ông, ngoài việc thu hoạch oán niệm từ học sinh.

Cũng chính vì nguyên nhân này, cho đến nay, trong các phe phái pháp sư không hề có một nhánh chuyên nghiên cứu toán học, càng không có nhà toán học nào. Các nhà nghiên cứu phần lớn phân bố trong Pháp Tắc Hệ và Nguyên Tố Hệ, chuyên tâm dùng tri thức toán học để tối ưu hóa pháp trận và mô hình pháp thuật, thiên về toán học ứng dụng hơn.

Hệ thống học thuật của thế giới này sở dĩ phát triển rực rỡ, mọi người sở dĩ khao khát cầu tìm chân lý, phần lớn nguyên nhân là vì sự thăm dò thế giới thực có thể nhận được phản hồi, thu hoạch sức mạnh. Còn toán học, vốn thoạt nhìn "chẳng còn gì khác," tự nhiên không người hỏi thăm.

"'Điều này quá kỳ diệu!' Dana nhỏ giọng thốt lên. Nếu dùng công thức Rainer đưa ra, ngay cả nàng cũng có thể nhanh chóng tìm được phương trình quỹ đạo của thông đạo ma lực. Trước ngày hôm nay, nàng chưa từng ý thức được toán học lại có sức mạnh k��� diệu đến vậy."

Claire chìm vào trầm tư. Nàng suy nghĩ một lát, rồi mới giơ tay lên, đặt câu hỏi: "Nhưng điều này chỉ có thể giải thích quỹ đạo Parabol. Trong mô hình pháp thuật còn có nhiều đường cong phức tạp hơn, ví dụ như hình Elip và Hyperbol, những cái này thì nên làm thế nào?"

"'Đây chính là vấn đề,' Rainer mỉm cười đáp. Tiếp đó, hắn vẽ một hình Elip lên bảng đen, thiết lập tọa độ cực, rồi bắt đầu suy diễn."

Hình Elip được định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng mà tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm cố định là một hằng số, đồng thời lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm cố định đó. Tương tự, nó cũng tồn tại đường chuẩn và tiêu điểm. Định nghĩa này có thể chuyển đổi thành tập hợp các điểm trên mặt phẳng mà tỉ số giữa khoảng cách đến một điểm cố định và khoảng cách đến một đường chuẩn là một hằng số. Dùng phương pháp tương tự như Parabol để đưa vào...

Rainer viết bảng rất mạch lạc, đơn giản và sáng tỏ, ngay cả Dana cũng có thể nhanh chóng lý giải.

Cuối cùng, sau khi đưa về tọa độ cực, hình Elip có được công thức r = E/(1 - e*cosθ), với E = b^2/a, e = c/a. Trong đó, 'a' là một nửa trục lớn của Elip, 'b' là một nửa trục bé, còn 'c' là khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

"'Hai công thức này thật giống nhau,' Dana nhận ra một vài vấn đề, nhưng lại không thể đi đến kết luận."

Chưa chờ các nàng kịp suy nghĩ kỹ càng, Rainer lại bắt đầu suy luận phương trình tọa độ cực của Hyperbol.

Hyperbol là tập hợp các điểm mà hiệu số tuyệt đối khoảng cách đến hai điểm cố định là một hằng số, đồng thời nhỏ hơn khoảng cách giữa hai điểm đó. Vì Rainer đã suy luận phương trình tọa độ cực của Parabol và Elip, nên rất nhanh ông đã có được phương trình tọa độ cực của Hyperbol.

r = E/(1 - e*cosθ).

Ba phương trình này có hình thức thống nhất đến kinh ngạc, khiến Claire và Dana ngạc nhiên không nói nên lời.

"Trên thực tế, chúng ta có thể giả định rằng Parabol cũng tồn tại một giá trị 'e', chỉ là giá trị 'e' này bằng 1. Tiêu điểm và độ dài trục lớn, trục bé cũng có thể được thống nhất. Nhìn theo cách này, Elip, Hyperbol, Parabol trên thực tế có thể được biểu thị bằng cùng một phương trình tọa độ cực, và điều quyết định sự khác biệt giữa chúng chính là giá trị 'e' này, ta định nghĩa nó là độ lệch tâm."

Nhìn ba đường cong khác biệt rõ rệt cùng một loạt công thức suy luận trên bảng đen, Rainer nói: "Khi độ lệch tâm nhỏ hơn 1, đó chính là Elip. Khi độ lệch tâm lớn hơn 1, đó là Hyperbol. Và khi độ lệch tâm bằng 1, đó là Parabol. Còn khi độ lệch tâm bằng 0, đó chính là một đường tròn."

Kết luận của hắn thoạt nhìn khó mà chấp nhận, nhưng quá trình suy luận từng bước một lại rõ ràng đến thế, Claire và Dana không thể tìm ra bất kỳ sai sót nào.

"Bởi vậy, chúng ta có thể chứng minh rằng các loại đường cong này thực chất là cùng một loại đường cong biến hóa trong các tình huống khác nhau. Đồng thời, ta có thể đưa ra một định nghĩa thống nhất và tinh giản hơn cho chúng: Trên mặt phẳng, tập hợp các điểm mà tỉ số giữa khoảng cách đến một điểm cố định và khoảng cách đến một đường thẳng cố định là một hằng số. Hằng số này chính là độ lệch tâm 'e'!"

Buông phấn viết, Rainer nhẹ nhàng nói: "Chứng minh đã hoàn tất."

Nếu yêu thích « Bái Kiến Hiệu Trưởng Đại Nhân », xin hãy chia sẻ địa chỉ trang mạng này cho bằng hữu của quý vị. Thiên bản dịch này, chỉ duy nhất được gìn giữ và truyền bá bởi Truyen.Free.