Trong phòng, Từ Vân đang chậm rãi nói:

"Isaac tiên sinh, Bá tước Hàn Lập qua tính toán đã phát hiện, khi khai triển định lý nhị thức với chỉ số, có thể sử dụng công thức e^x = 1+x+x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^n / n! +... để tính toán."

Nói rồi, Từ Vân cầm bút lên, viết xuống một dòng trên giấy:

Khi n=0, e^x>1.

"Isaac tiên sinh, ở đây bắt đầu từ x^0, dùng 0 làm điểm khởi đầu thảo luận sẽ tương đối dễ dàng, ngài có hiểu được không ạ?"

Nghé con khẽ gật đầu, ra hiệu đã hiểu.

Sau đó, Từ Vân tiếp tục viết:

Giả sử khi n=k thì kết luận thành lập, tức e^x>1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^k / k! (với x>0)

Thì e^x-[1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^k / k! ]>0

Như vậy, khi n=k+1, hàm số f(k+1)=e^x-[1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^(k+1) / (k+1)!] (với x>0)

Tiếp đó, Từ Vân khoanh tròn f(k+1) và hỏi:

"Isaac tiên sinh, ngài có hiểu rõ về đạo hàm không?"

Nghé con lại khẽ gật đầu, ngắn gọn đáp hai chữ:

"Đã rõ."

Những ai từng học toán hẳn đều biết.

Đạo hàm và tích phân là những phần quan trọng nhất cấu thành phép vi tích phân, mà đạo hàm chính là cơ sở của vi tích phân.

Vào cuối năm 1665, Nghé con thực chất đã có nhận thức khá sâu sắc về đạo hàm.

Trong lĩnh vực đạo hàm, Nghé con quan tâm đến vận tốc tức thời.

Tốc độ = quãng đường / thời gian, đây là công thức học sinh tiểu học đều biết, nhưng vận tốc tức thời thì tính như thế nào?

Chẳng hạn, nếu biết quãng đường s=t^2, vậy tại thời điểm t=2, vận tốc tức thời v là bao nhiêu?

Tư duy của nhà toán học chính là biến những vấn đề chưa học thành những vấn đề đã học.

Thế là Newton đã nghĩ ra một phương pháp rất thông minh:

Lấy một khoảng thời gian "rất ngắn" là △t, trước hết tính toán vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t=2 đến t=2+△t là bao nhiêu.

v=s / t=(4△t+△t^2) / △t=4+△t.

Khi △t càng ngày càng nhỏ, 2+△t càng ngày càng tiến gần đến 2, khoảng thời gian cũng càng ngày càng hẹp lại.

Khi △t càng tiến gần đến 0, vận tốc trung bình sẽ càng tiến gần đến vận tốc tức thời.

Nếu △t bằng 0, vận tốc trung bình 4+△t sẽ trở thành vận tốc tức thời là 4.

Đương nhiên rồi.

Sau này, Berkeley đã phát hiện một số vấn đề logic trong phương pháp này, cụ thể là liệu △t cuối cùng có bằng 0 hay không.

Nếu là 0, vậy làm sao có thể dùng △t làm mẫu số khi tính toán tốc độ được? Ngay cả... khụ khụ, học sinh tiểu học cũng biết 0 không thể là số chia.

Còn nếu không phải 0, 4+△t sẽ không bao giờ trở thành 4, vận tốc trung bình sẽ không bao giờ trở thành vận tốc tức thời.

Theo quan niệm vi tích phân hiện đại, Berkeley thực chất đang đặt câu hỏi liệu giới hạn lim△t→0 có tương đương với trường hợp △t=0 hay không.

Bản chất của vấn đề này thực ra là một sự chất vấn đối với phép vi tích phân mới ra đời, rằng liệu việc sử dụng những thuật ngữ mơ hồ như "chia nhỏ vô hạn" để định nghĩa toán học chính xác có thực sự phù hợp không?

Berkeley do đó đã khơi mào một loạt tranh luận, chính là cuộc khủng hoảng toán học lần thứ hai lừng danh.

Thậm chí có những người bi quan tuyên bố tòa nhà Toán học sắp sụp đổ, thế giới của chúng ta đều là hư ảo — sau đó những người này thực sự đã nhảy lầu. Ở Áo vẫn còn lưu giữ di ảnh của họ, một lão câu cá vô danh nào đó từng may mắn được chiêm ngưỡng, giống như bảy chú lùn nhỏ vậy, chẳng biết là để người ta tưởng niệm hay để làm gương răn đe.

Phải đến khi Cauchy và Weierstrass xuất hiện, vấn đề này mới có thể được giải thích và kết luận một cách triệt để,

Đồng thời, họ cũng đã định nghĩa chính xác cái khái niệm mà sau này nhiều thế hệ sinh viên phải vất vả với nó.

Nhưng đó là chuyện về sau. Vào niên đại của Nghé con, toán học mới ra đời vẫn được đặt ưu tiên về tính thực dụng, do đó, tính chặt chẽ bị xem nhẹ hơn.

Thời đại này, rất nhiều người vừa sử dụng các công cụ toán học để nghiên cứu, vừa dùng chính kết quả nghiên cứu để cải tiến và tối ưu hóa các công cụ đó.

Thỉnh thoảng, cũng sẽ có những người kém may mắn, cứ tính toán rồi đột nhiên nhận ra công trình nghiên cứu cả đời của mình thực chất đã sai lầm.

Nói tóm lại.

Tại thời điểm hiện tại, Nghé con vẫn khá quen thuộc với việc tính đạo hàm, chỉ là chưa hệ thống hóa thành lý thuyết hoàn chỉnh mà thôi.

Từ Vân thấy thế lại viết tiếp:

Đối với f(k+1), lấy đạo hàm, ta có thể được f(k+1) '=e^x-1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^k / k!

Từ giả thiết, ta biết rằng f(k+1) '>0.

Như vậy, khi x=0.

f(k+1)=e^0-1-0 / 1! -0 / 2! -... -0 / (k+1)! =1-1=0

Cho nên, khi x>0.

Vì đạo hàm lớn hơn 0, nên f(x)>f(0)=0.

Vậy khi n=k+1, f(k+1)=e^x-[1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^(k+1) / (k+1)!] (với x>0) là đúng!

Cuối cùng, Từ Vân viết:

Tóm lại, với mọi n, ta có:

e^x>1+x / 1! +x^2 / 2! +x^3 / 3! +... +x^n / n! (với x>0)

Phần trình bày đã xong, Từ Vân buông bút máy, nhìn về phía Nghé con.

Ngay lúc này đây.

Vị tổ sư ngành vật lý học của hậu thế này đang trợn tròn đôi mắt, nhìn chằm chằm vào tờ giấy nháp trước mặt.

Quả thật.

Với tiến độ nghiên cứu hiện tại của Nghé con, còn chưa thể hiểu rõ nội hàm chân chính của tiếp tuyến và diện tích.

Nhưng những người am hiểu toán học đều biết rõ, định lý nhị thức theo nghĩa rộng thực chất là một trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor cho hàm phức.

Chuỗi này tương thích với định lý nhị thức, ký hiệu hệ số cũng tương thích với ký hiệu tổ hợp.

Do đó, định lý nhị thức có thể mở rộng từ số mũ tự nhiên sang số mũ tổng quát hơn, và định nghĩa tổ hợp cũng có thể mở rộng từ số tự nhiên sang các số khác.

Chỉ có điều, Từ Vân đã giữ lại một phần, không nói cho Nghé con rằng khi n là số âm thì đ�� là một chuỗi vô hạn.

Bởi vì theo dòng lịch sử thông thường, khái niệm vô cùng bé lại xuất phát từ chính Nghé con, tốt nhất là để chính cậu ấy tự mình suy luận quá trình đó.

Cứ như vậy, mấy phút trôi qua, Nghé con mới hoàn hồn.

Thấy hắn không thèm để ý đến Từ Vân bên cạnh, nhanh chóng lao về chỗ ngồi và bắt đầu diễn giải các phép tính.

Nhìn Nghé con đang toàn tâm toàn ý đắm chìm vào tính toán, Từ Vân cũng chẳng bận tâm, dù sao vị tổ sư này vốn có tính cách như vậy, có lẽ chỉ khi ở trước mặt William Askew thì mới khá hơn đôi chút.

Sa sa sa ——

Rất nhanh.

Tiếng ngòi bút chạm vào giấy nháp vang lên, từng công thức nhanh chóng được viết ra.

Từ Vân thấy vậy, suy nghĩ một lát rồi lặng lẽ rời khỏi phòng.

Tùy ý tìm một chỗ ở góc tường, ngẩng đầu ngắm nhìn mây trời cuồn cuộn.

Cứ như vậy, hai giờ trôi qua nhanh chóng.

Đúng lúc Từ Vân đang suy tính bước đi tiếp theo của mình, cánh cửa gỗ bỗng nhiên bị đẩy ra từ bên trong, Nghé con mặt đầy kích động chui ra.

Thấy mắt hắn đỏ ngầu tơ máu, dùng sức vung vẩy xấp giấy nháp trong tay về phía Từ Vân:

"Cá béo! Số âm, tôi đã tìm ra số âm! Mọi thứ đều đã sáng tỏ!

Chỉ số nhị thức không cần quan tâm là số dương hay số âm, là số nguyên hay số thập phân, kết quả tổ hợp đều đúng trong mọi điều kiện!

Tam giác Dương Huy, đúng vậy, bước tiếp theo chính là nghiên cứu Tam giác Dương Huy!"

Có lẽ vì quá đỗi kích động, Nghé con căn bản không hề để ý, ngay cả búi tóc của mình cũng đã rơi xuống đất.

Nhìn Nghé con mặt đỏ bừng, Từ Vân trong lòng cũng không khỏi dâng lên một cảm giác phấn chấn khi đã thay đổi lịch sử.

Theo quỹ đạo thông thường.

Nghé con phải đợi đến tháng Giêng năm sau, sau khi nhận được một bức thư từ John Wallis, mới có thể như được khai sáng, giải quyết một loạt điểm nghi vấn và khó khăn.

Và trong bức thư của John Wallis này, chính là đề cập đến hình tam giác Pascal đã công bố.

Nói cách khác...

Nút thắt lịch sử toán học của thời không này, lần đầu tiên đã bị thay đổi!

Với thành quả ban đầu về khai triển nhị thức, Nghé con chắc chắn sẽ không mất nhiều thời gian, liền có thể cấu trúc nên mô hình giải tích sơ khai dưới sự hỗ trợ của Tam giác Dương Huy.

Và cũng chính vì thế.

Cái tên Tam giác Dương Huy cũng sẽ được khắc ghi trên nền tảng của ngai vàng toán học, ở đúng vị trí mà nó vốn nên thuộc về!

Cho dù sau này mấy trăm năm thế sự biến thiên, bể dâu dời đổi, vẫn sẽ không ai có thể lay chuyển được!

Ánh sáng của bậc tiên hiền Hoa Hạ, trong dòng thời gian này sẽ vĩnh viễn không bao giờ bị mai một!

Nghĩ vậy, Từ Vân không khỏi hít sâu một hơi, bước nhanh đến gần:

"Chúc mừng ngài, Isaac tiên sinh."

Nhìn gương mặt đậm chất phương Đông của Từ Vân, trên mặt Nghé con cũng hiện lên một nỗi cảm khái.

Vị Bá tước Hàn Lập chưa từng gặp mặt kia, chỉ cần để lại vài nét bút tùy hứng cũng đã có thể giúp mình vén mây thấy mặt trời, chỉ cần mượn tay của "Cá béo" - người đệ tử không biết cách xa bao nhiêu đời này - cũng đã có thể mở ra một cánh cửa lớn cho mình.

Vậy kiến thức của chính Bá tước Hàn Lập có thể đạt đến độ cao nào?

Một thiên tài có thể nghĩ ra loại khai triển thức này, được xưng là "quỷ tài toán học" thì có gì là quá đáng chứ?

Ban đầu, mình cứ tưởng tiên sinh Descartes đã vô địch thiên hạ, không ngờ lại còn có người dũng mãnh hơn cả ông ấy!

Xem ra con đường toán học của mình, vẫn còn lắm chông gai...

Tài liệu này được truyen.free giữ bản quyền.